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幾種常見阻尼數(shù)學模型簡評

時間 : 2022年6月28日分類 :工程百科

靜止的結構，一旦從外界獲得足夠的能量（主要是動能），就要產(chǎn)生振動。在振動過程中，若再無外界能量輸入，結構的能量將不斷消失，形成振動衰減現(xiàn)象。振動時，使結構的能量散失的因素的因素稱為結構的阻尼因素。

索羅金在其論著中將結構振動時的阻尼因素概括為幾種類型，即介質(zhì)的阻尼力、材料介質(zhì)變形而產(chǎn)生的內(nèi)摩擦力、各構件連接處的摩擦及通過地基散失的能量。百多年來，不同領域的專家，均根據(jù)自身研究的需要，著重研究某種阻尼因素，如外阻尼、摩擦阻尼、材料阻尼及輻射阻尼等。

根據(jù)不同類型阻尼的物理機制及具體的阻尼現(xiàn)象，或者為了數(shù)學計算的方便，物理學家和工程專家在實驗的基礎上，相繼建立了許多描述阻尼力的數(shù)學模型。下面的討論均在單自由度有阻尼體系運動方程：

的基礎上進行。其中，m、k分別為系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度，x為質(zhì)點的位移，Fd為阻尼力，F為體系所受外力。下面將簡要描述目前常見常用的幾種阻尼數(shù)學模型，并對在結構振動問題中最常用的兩種阻尼模型，即普通粘性阻尼和結構阻尼(滯變阻尼）給予了較多的關注。

1常用的粘性阻尼

最初，通過觀察粘滯性流體中運動物體所受的阻尼力，科學家們抽象概括出粘滯阻尼模型。1865年，Kelvin(又名W.Thomson)在預測一些簡單體系的自由振動衰減現(xiàn)象后，提出固體材料中存在內(nèi)阻尼。

為了描述這種內(nèi)阻尼，他借用了粘滯性模型，提出固體材料的內(nèi)阻尼與粘滯流體中的粘滯阻尼相似，與變形速度有關。1892年，Vougt發(fā)展并完成了此理論，形成了粘滯阻尼模型，其數(shù)學表示為：

其中，η為材料黏滯阻尼常數(shù)，ε為材料應變，ε的導數(shù)為材料應變速率。

對于簡諧振動，一周內(nèi)材料耗散的能量可表示為：

其中，ε0為應變幅值，ω為振動角頻率，其它參數(shù)意義同粘滯阻尼模型表達式。

對于勻質(zhì)材料構成的單自由度體系，如有阻尼體系運動方程所示，若F=F0sinθt，則體系有穩(wěn)態(tài)解x=x0sin(θt ψ)，若阻尼力采用線性黏滯阻尼模型，則其大小與質(zhì)點的速度成正比，即：

其中，x的導數(shù)為質(zhì)點的相對速度。相應的穩(wěn)態(tài)簡諧振動中每周耗散的能量為：

其中，x0為位移的幅值，θ為簡諧振動頻率(亦為簡諧擾力的頻率)。

值得注意的是，線性黏滯阻尼模型很好地描述了黏滯液體中結構的能量耗散特性，但將此模型用于描述固體材料的內(nèi)阻尼，則缺乏物理實驗基礎。上述能量耗散系數(shù)與振動頻率成正比的不合理性已為許多物理實驗所證實。

在研究陰尼器的動力特性時，Z.Liang等使用能量方法給出了損失因子β的表達式。當采用黏滯阻尼模型時，根據(jù)外力所做的功等于阻尼器做的功可得

其中，β為損失因子，f0為擾力的幅值，x0為振幅，其它參數(shù)意義同前。在上式中，若c為常數(shù)，β將與擾力頻率ω成正比，但許多實驗己證明，β與ω不成正比，這進一步說明粘性阻尼模型存在矛盾。

百多年來，由于數(shù)學計算的方便，Kelvin模型已被廣泛應用于各種固體材料的動力反應分析中，并形成一套完整的分析方法。

2遲滯阻尼（頻率相關阻尼）

若采用粘性阻尼模型，結構振動時每周消耗的能量隨著結構振動的增加而線性增加，這與實驗事實相矛盾。為了與實驗結果相符，一些學者建議采用頻率相關阻尼或遲滯阻尼假設，按照此假設，阻尼力可被表示為：

式中，h為材料遲滯阻尼常數(shù)，θ為振動頻率，h/θ可看作一個與頻率相關的阻尼因子?？們?nèi)力：

由此可以推得穩(wěn)態(tài)簡諧振動中，相應的阻尼力的幅值與θ無關，而總內(nèi)力公式在力――位移平面上構成一個斜偏橢圓形滯回環(huán)的面積也不再與θ有關，即有

由于與粘性阻尼理論的阻尼系數(shù)c相應的阻尼因子是h/θ，這是有些學者后來稱其為頻率相關阻尼的原因。頻率相關阻尼理論在實數(shù)域中討論問題。如果體系受到復簡諧擾力作用，通過運動方程也可以從形式上由遲滯阻尼模型推出結構阻尼模型，因此Bishop在其論文中將這兩個概念統(tǒng)一起來，將結構阻尼定義為滯變阻尼。

從此以后，有些文獻中不用結構阻尼概念，而直接將結構阻尼模型稱為滯變阻尼。為了與實數(shù)域中定義的遲滯阻尼（頻率相關阻尼）模型相區(qū)別，本文將使用結構阻尼模型一詞。

3結構阻尼（復阻尼）

在大量實驗基礎上，一些學者提出關于固體材料內(nèi)摩擦的結構阻尼模型。在簡諧外力作用下，體系有穩(wěn)態(tài)解：

則速度為：

結構阻尼理論認為，阻尼應力與彈性力成正比，與速度同相。若彈性應力為kx，阻尼應力為ivkx，從而總的內(nèi)力為：

此式表明，相當于結構具有復剛度(1 iv)k。結構阻尼體系在簡諧荷載作用下穩(wěn)態(tài)振動一周耗散的能量為：

其中，阻尼常數(shù)v=b/k(=2λ，λ是常用的阻尼比)。顯然，結構阻尼體系能量耗散與外力頻率無關，能很好地符合實驗事實。

4空氣動力阻尼

對于在空氣中運動的質(zhì)量較輕的結構，空氣動力阻尼將起很總要的作用。對于結構來說，空氣動力阻尼屬于外部介質(zhì)阻尼，其定義為：

其中，β為比例系數(shù)，x的導數(shù)為結構運動速度。此阻尼模型被廣泛用于航空動力學中。若F=F0sinθt，則體系有穩(wěn)態(tài)解x=x0sin(θt ψ)，一周內(nèi)體系耗散的能量為：

式中，各參數(shù)的物理意義同前。

5庫侖阻尼

庫侖阻尼模型描述來自于常壓力下的兩個干滑動表面之間的干摩擦。在工程實際中，該阻尼模型經(jīng)常被用來表示被鉚接或栓接的兩個結構單元之間的摩擦，有庫侖定律：

其中，fd為庫侖阻尼力，μ為摩擦系數(shù)，N為正壓力。許多文獻中還給出了由位移峰值的絕對值表示的庫侖阻尼力的形式：

其中，k為振動體系的剛度，x1及x2分別為相位差為π的位移峰值的絕對值。對于庫侖阻尼模型，其位移曲線相差2π的兩個峰值點的衰減規(guī)律為線性關系。

6比例及非比例阻尼

比例阻尼模型的出現(xiàn)完全是為了數(shù)學計算的方便。在求解多自由度系統(tǒng)運動方程時，由于質(zhì)量和剛度矩陣均具有帶權正交性，故質(zhì)量和剛度矩陣可以對角化。但阻尼矩陣一般情況下不具有這種正交性，因此，它不能對角化。在這種情況下，多自由度體系運動方程不能解耦成單自由度體系運動方程求解。

為了使阻尼矩陣也可以解耦，Rayleigh首先提出了比例阻尼模型。Rayleigh阻尼理論認為，阻尼矩陣C可以表示為質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合。即：

其中，α、β均為比例常數(shù)。當α=0時，阻尼矩陣為C=βK為剛度比例阻尼；當β=0時，阻尼矩陣為C=αM為質(zhì)量比例阻尼。

顯然，利用固有振型的帶權正交性，Rayleigh阻尼矩陣可以很方便地與質(zhì)量矩陣及剛度矩陣同時對角化。從而，n自由度體系運動方程可以解耦為n個獨立的單自由度體系運動方程，進而可以按單自由度體系運動方程進行求解。最后，再利用振型疊加法，將單自由度體系運動方程的解組合成多自由度體系運動方程的解。

由于給多自由度體系的計算帶來很大方便，這種阻尼模型至今仍被廣泛用于實際工程結構的多自由度體系振動反應分析中。然而，只有一少部分阻尼現(xiàn)象符合這種阻尼模型，大量實驗表明這種模型與結構的阻尼比測量結果在許多情況下不符。系數(shù)α、β與粘性振型阻尼比的關系為：

由上可以看出，利用Rayleigh阻尼模型，高振型將導致過阻尼現(xiàn)象，這與實際不符。Caughey等人在Rayleigh阻尼研究的基礎上，首先提出比例阻尼的精確定義，并給出比例阻尼系統(tǒng)判定準則。若阻尼矩陣可以正交化為對角矩陣，該阻尼為正交阻尼或比例阻尼，否則稱為非比例阻尼。符合Caughey比例阻尼準則的阻尼為比例阻尼。后來，Clough等人給出了比例阻尼的更一般的判別準則。

7粘彈性阻尼

振動控制領域研究粘彈性阻尼器時，許多學者用粘彈性阻尼模型來描述阻尼器中使用的特殊的粘彈性材料特性。這種材料既可作為能量吸收器，又可作為能量恢復器，其粘彈性與應變的頻率及溫度有關。若設材料的應變?yōu)?em>γ=γ0sinωt，應力為σ，則有：

其中，ks(ω)為存儲剛度，ki(ω)為損失剛度。

由于結構體系往往是由不同材科構成的（如現(xiàn)代懸索橋），各種材料阻尼特性不同，為了反映結構整體綜合效應，有人以某種典型阻尼模型(如粘性阻尼)為基礎，對不同材料的阻尼分別進行計算分析，再通過一定原則對所求阻尼值進行加權，而后對結構總體阻尼效果進行分析計算，并將這樣計算所得阻尼力稱為非典型阻尼力。文獻中將這種由結構的各個部件計算結構整體阻尼的算法用在懸索橋的抗震設計計算上。