文章深入分析國內(nèi)外連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化的研究現(xiàn)狀，介紹了拓撲優(yōu)化方法的發(fā)展及實現(xiàn)過程中存在的問題。對比分析了均勻化方法，漸進結構優(yōu)化法，變密度法的優(yōu)缺點。研究了連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化過程中產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象的原因，重點討論了灰度單元，棋盤格式，網(wǎng)格依賴性的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，并針對每一種數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象提出了相應的解決辦法。

    結構拓撲優(yōu)化設計的主要對象是連續(xù)體結構，1981年程耿東和Olhof在研究中指出：為了得到實心彈性薄板材料分布的全局最優(yōu)解，必須擴大設計空間，得到由無限細肋增強的板設計。此研究被認為是近現(xiàn)代連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化的先驅(qū)。

    目前，國內(nèi)外學者對結構拓撲優(yōu)化問題進行了大量研究，這些研究大多數(shù)建立在有限元法結構分析的基礎上，但由于有限元法中單元網(wǎng)格的存在，結構拓撲優(yōu)化過程中常常出現(xiàn)如灰度單元，網(wǎng)格依賴性和棋盤格等數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象。本文介紹了幾種連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化方法及每種方法存在的問題，并提出了相應的解決辦法。


    1.
拓撲優(yōu)化方法

    連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化開始于1988年Bendoe和Kikuchi提出的均勻化方法，此后許多學者相繼提出了漸進結構優(yōu)化方法、變密度法等拓撲優(yōu)化數(shù)學建模方法。

    1.1.均勻化方法

    均勻化方法即在設計區(qū)域內(nèi)構造周期性分布的微結構，這些微結構是由同一種各向同性材料實體和孔洞復合而成。采用有限元方法進行分析，在每個單元內(nèi)構造不同尺寸的微結構，微結構的尺寸和方向為拓撲優(yōu)化設計變量。1988年Bendsoe研究發(fā)現(xiàn)，通過在結構中引入具有空洞微結構的材料模型，將困難的拓撲設計問題轉換為相對簡單的材料微結構尺寸優(yōu)化問題。

    很多學者發(fā)展了均勻化方法，Suzhk進行了基于均勻化方法結構形狀和拓撲優(yōu)化協(xié)同設計。Hassani等全面系統(tǒng)的總結了基于均勻化理論的拓撲優(yōu)化理論和算法。該方法的優(yōu)點：數(shù)學理論嚴謹，在理解拓撲優(yōu)化的理論框架方面有重要的意義。缺點：（1）均勻化彈性張量的求解操作繁瑣，內(nèi)部微結構的形狀和方向難以確定。（2）計算結果容易產(chǎn)生棋盤格和多孔材料等數(shù)值不穩(wěn)定性問題，可制造性差。

    1.2.漸進結構優(yōu)化法

    漸進結構優(yōu)化的設計理論與方法，是由謝億民于1993年提出的，主要用于連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化設計問題。ESO方法通過逐漸將無效或低效的材料刪除，實現(xiàn)連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化，避免了多變量數(shù)學規(guī)劃求解問題。ESO方法中主要有三種方法刪除無效或低效單元。

    近年來ESO由于突出的優(yōu)點而得到迅速的發(fā)展，同時存在的問題也不容忽視。主要優(yōu)點有：不僅可以解決各類結構的尺寸優(yōu)化，還可以實現(xiàn)形狀和拓撲優(yōu)化；拓撲形式清晰，迭代過程在計算機上實現(xiàn)，可以對有限元分析結果進行后處理近似得到靈敏度值，且在優(yōu)化過程中避免二次劃分網(wǎng)格問題。缺點是：迭代次數(shù)較多，計算效率較低，且通用性、數(shù)值穩(wěn)定性差。

    1.3.變密度法。

    密度法是人為假定單元的密度和材料物理屬性之間的某種對應關系，以連續(xù)變量的密度函數(shù)形式表達這種對應關系。變密度法是基于各向同性材料，以每個單元的相對密度作為設計變量，將結構拓撲優(yōu)化問題轉化為材料最優(yōu)分布設計問題，應用優(yōu)化準則法或數(shù)學規(guī)化方法來求解材料最優(yōu)分布設計。

    1999年Sigrnund等證實了該方法物理意義的存在性。變密度法主要優(yōu)點有：設計變量少；程序?qū)崿F(xiàn)簡單；以結構重量為目標，不存在多目標問題。不足有：（1）優(yōu)化過程中存在相對密度在[0，1]之間單元。對于中間密度的單元，是否刪除就變得難以抉擇；（2）以柔度最小為優(yōu)化目標，在解決含有強度和剛度約束的優(yōu)化問題時不夠方便。     
2.
拓撲優(yōu)化中數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象及其解決方法

    2.1.灰度單元
    灰度單元是在優(yōu)化結構中大量存在密度介于0-l之間的單元，導致優(yōu)化結果難以確切的給出拓撲構型，從而使優(yōu)化結果難以在工程實際中應用。存在灰度單元的根本原因是連續(xù)模型同原離散模型的逼近問題，灰度單元主要存在于SIMP等變密度法中，兩種主要解決辦法：（1）加大SIMP模型中的懲罰因子，隨著懲罰因子的增大，使設計變量的值越來越接近于拓撲優(yōu)化特征函數(shù)期望的值。（2）濾波半徑過大會產(chǎn)生灰度單元，合理確定濾波半徑的值，可以抑制灰度單元的生成。
    2.2.棋盤格式
    棋盤格式是指結構優(yōu)化過程中單元材質(zhì)密度周期性高低分布，拓撲呈現(xiàn)為黑白相間，如同棋盤。Bendsoe認為，棋盤格式的出現(xiàn)與優(yōu)化問題解的存在性以及有限元近似的收斂性密切相關，是連續(xù)問題的解以弱收斂方式逼近原離散問題的真實解時出現(xiàn)的一種現(xiàn)象。為了獲得清晰的圖形，一些解決的方法如：（1）靈敏度過濾技術（2）采用較為穩(wěn)定的有限元模式，改變優(yōu)化目標函數(shù)的泛函，使優(yōu)化過程趨于順暢。（3）Kikuchi等提出使用“超參元”，可以在一定程度上抑制棋盤格。
    2.3.網(wǎng)格依賴性
    網(wǎng)格依賴性是指拓撲優(yōu)化計算結果與計算區(qū)域的網(wǎng)格密度有關，選擇不同的網(wǎng)格密度，可能會產(chǎn)生不同的優(yōu)化結果，且隨著網(wǎng)格的剖分密度增加，優(yōu)化結果的幾何復雜性增加，幾何尺寸逐步減小。網(wǎng)格依賴性使得計算結果的可制造性下降。

    文章對拓撲優(yōu)化的方法、優(yōu)化時存在的問題及解決問題辦法進行了分析。通過分析可知拓撲優(yōu)化設計的理論和技術需要進一步的發(fā)展。在應用研究中不斷拓展和延伸優(yōu)化研究的廣度和深度，將是拓撲優(yōu)化研究工作的必然發(fā)展方向。
 

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文章名稱：《連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化方法及存在問題分析》

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