[拼音]：gong’e quxian

[外文]：conjugate curves

兩構(gòu)件上用以實(shí)現(xiàn)給定運(yùn)動規(guī)律的連續(xù)相切的一對曲線。曲線與尖點(diǎn)接觸可看作為共軛曲線的特例。齒輪傳動中一個齒輪推動另一個齒輪轉(zhuǎn)動和凸輪機(jī)構(gòu)中凸輪推動從動件按要求的規(guī)律運(yùn)動，都是依靠共軛曲線來完成的。單就齒輪傳動來說，通過做成齒廓的一對對共軛曲線可以得到滿足要求傳動比的轉(zhuǎn)動(如圓柱齒輪傳動)，或進(jìn)行轉(zhuǎn)動與移動間的運(yùn)動轉(zhuǎn)換（如齒輪與齒條傳動），也可獲得變速運(yùn)動（如非圓齒輪傳動）等。

作為平面運(yùn)動的一對共軛曲線與一對瞬心線（見瞬心）相同之處都是點(diǎn)接觸，但瞬心線之間是純滾動，而共軛曲線在接觸點(diǎn)處存在滑動。以共軛曲線作為構(gòu)件廓線的共軛曲線機(jī)構(gòu)，在傳遞運(yùn)動的同時也一定存在有同樣運(yùn)動規(guī)律的一對瞬心線。例如一對等速比傳動的圓柱齒輪，其瞬心線為相互滾動的一對節(jié)圓（見圖）。

一對共軛曲線在相對運(yùn)動過程中互為包絡(luò)線。作為共軛曲線的基本條件，亦即保證兩曲線在嚙合過程連續(xù)相切的條件，是共軛曲線接觸點(diǎn)A處的相對速度v₁₂與通過該點(diǎn)所作這對共軛曲線的公法線n–n垂直，如果這對共軛曲線是一對齒廓曲線，這個性質(zhì)也稱作齒廓嚙合基本定律。公法線與兩輪中心連線的交點(diǎn)P為兩輪的瞬心，也稱為節(jié)點(diǎn)。

給出兩構(gòu)件的運(yùn)動要求和共軛曲線中的一條曲線，就可求出另一條曲線，常用的有包絡(luò)法和齒廓法線法。

包絡(luò)法

根據(jù)一對共軛曲線在相對運(yùn)動過程互為包絡(luò)線的原理，如果給定其中一條曲線K₁及兩輪相對滾動的一對瞬心線(如圖中的兩節(jié)圓)使輪1對輪2作相對運(yùn)動，即令輪2固定，節(jié)圓1在節(jié)圓 2上滾動，可得到K₁在輪2上的一系列相對位置K₁、K??、K??、…。這些曲線形成一個曲線族。作這個曲線族的包絡(luò)線K₂，即使K₂與曲線族中的每條曲線都相切，K₂與K₁即為一對共軛曲線。K₂不僅可用圖解法求得，也可采用解析法。解析法首先是在輪1和輪2上分別加上兩個動標(biāo)，在動標(biāo)1上寫出曲線K₁的方程f(x₁，y₁)＝0，給出兩輪的轉(zhuǎn)角關(guān)系φ₂=φ₂(φ₁)，然后用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法求得K₁在動標(biāo)2上的曲線族方程f(x₂，y₂，φ₁)=0，則包絡(luò)線方程即為

f(x₂，y₂，φ₁)=0

齒廓法線法

這種方法比包絡(luò)法方便些。其實(shí)質(zhì)是滿足齒廓嚙合基本定律的運(yùn)動法，即過共軛曲線接觸點(diǎn)的公法線必須通過節(jié)點(diǎn) P。齒廓法線法也可用圖解法或解析法。用圖解法求解時，在已知曲線K₁上任取一點(diǎn)Μ₁，過Μ₁作K₁的法線Μ₁P₁交節(jié)圓 1于P₁點(diǎn)。由于P₁不是節(jié)點(diǎn)，因此Μ₁不是接觸點(diǎn)。但將輪1轉(zhuǎn)過φ₁角后，法線Μ₁P₁轉(zhuǎn)到ΜP位置，顯然Μ點(diǎn)就是K₁上Μ₁點(diǎn)的接觸位置。由于兩節(jié)圓存在滾動的關(guān)系，在輪1轉(zhuǎn)φ₁角的同時輪2轉(zhuǎn)φ₂角，因此可找到與Μ₁對應(yīng)的K₂上的Μ₂點(diǎn)。這兩點(diǎn)都轉(zhuǎn)到Μ點(diǎn)位置接觸。用這種方法在齒廓1上給出一系列的Μ₁點(diǎn)，就可找出一系列對應(yīng)的Μ點(diǎn)和Μ₂點(diǎn)。連接這一系列Μ₂點(diǎn)即得K₂曲線；連接這一系列Μ點(diǎn)所得的曲線稱作嚙合線，它是這對共軛曲線的接觸點(diǎn)在固定坐標(biāo)系上的軌跡，如曲線。

一對共軛曲線也可通過第三條曲線來獲得，如曲線3分別與曲線1和曲線2共軛，則1、2兩條曲線一定也能共軛。用齒條型刀具加工一對齒輪是其應(yīng)用實(shí)例。

評價一對共軛曲線的優(yōu)劣，除滿足運(yùn)動要求外，還應(yīng)考慮嚙合特性，如壓力角、滑動率、誘導(dǎo)曲率和有無干涉等。

一對共軛曲線的曲率計算可以應(yīng)用歐拉－薩伐里公式：

式中r₁和r₂為輪1和輪2的節(jié)圓半徑，β如圖所示，l 即圖中的PA長，ρ₁、ρ₂為K₁、K₂在接觸點(diǎn)A的曲率半徑，已知ρ₁可求得ρ₂。當(dāng)曲線為內(nèi)凹時，ρ為負(fù)值。為了避免產(chǎn)生曲率干涉，應(yīng)使誘導(dǎo)曲率。

參考書目

1. Ф.Л.李特文著，盧賢占等譯:《齒輪嚙合原理》第二版，上海科學(xué)技術(shù)出版社，上海，1984。(Ф.Л.Литвин，Τеориязубчаmыхэацеплений， Изд． Науκа，Μосκва，1968.)

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標(biāo)簽：共軛曲線

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文章名稱：《共軛曲線》

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