[拼音]：xindao bianma

[外文]：channel coding

在信道與信源之間和信道與信宿之間必須有變換信號(hào)的設(shè)施，其中用于提高信道可靠性的稱為信道編碼器和譯碼器，它們的基礎(chǔ)就是信道編碼，是信息論的重要內(nèi)容之一。信道編碼大致可分為兩類，一類是信道編碼定理，從理論上解決理想編碼器、譯碼器的存在性問(wèn)題；另一類是構(gòu)造性的編碼方法以及這些方法能達(dá)到的性能界限。

編碼定理的證明，從離散信道發(fā)展到連續(xù)信道，從無(wú)記憶信道到有記憶信道，從單用戶信道到多用戶信道，從證明差錯(cuò)概率可接近于零到以指數(shù)規(guī)律逼近于零，正在不斷完善。至于編碼方法，在離散信道中一般用代數(shù)碼形式，其類型有較大發(fā)展，各種界限也不斷有人提出，但尚未達(dá)到編碼定理所啟示的限度，尤其是關(guān)于多用戶信道，更顯得不足。在連續(xù)信道中常采用正交函數(shù)系來(lái)代表消息，這在極限情況下可達(dá)到編碼定理的限度。

編碼定理

信道容量是信道能傳送的最大信息率。編碼定理就是解決達(dá)到這個(gè)最大值的可能性和超過(guò)這個(gè)最大值時(shí)的傳輸問(wèn)題。一般的編碼定理是：若信道容量為C，在信道中傳送的信息率為R（均以每信道符號(hào)計(jì)），如R＜C，只要輸入符號(hào)的數(shù)目N足夠大，總有一種使接收端譯碼差錯(cuò)概率任意小的編碼方法。反之，如R＞C，必定不存在能使接收端譯碼差錯(cuò)概率任意小的編碼方法；當(dāng)N→∞，差錯(cuò)概率將接近1。

對(duì)于多用戶信道，其容量是一個(gè)區(qū)域的外界“面”(見信道容量)，則須把上述的R＜C換成(R₁，R₂，…)矢量在界“面”的內(nèi)部，把R＞C換成(R₁，R₂，…)矢量在界面的外部，其他情況不變。因此，信道容量是一個(gè)界限，在這個(gè)界限之內(nèi)可以幾乎無(wú)錯(cuò)誤地傳輸，而在這個(gè)界限之外就不可能。在這個(gè)界限上的情況則是不明確的。有時(shí)把上述定理中的R＜C稱為編碼定理，而把R＞C稱為其反定理。

不是所有信道的編碼定理都已被證明。只有無(wú)記憶單用戶信道和多用戶信道中的特殊情況的編碼定理已有嚴(yán)格的證明；其他信道也有一些結(jié)果，但尚不完善。其實(shí)，當(dāng)信道的編碼定理未被證明之前，信道容量的概念也并不明確。

證明信道編碼定理通常采用隨機(jī)編碼的概念。所謂編碼，實(shí)際上是從各種輸入符號(hào)序列中選取M種作為碼字來(lái)傳遞信息。例如輸入N個(gè)符號(hào)X₁，X₂，…，X_N，每個(gè)符號(hào)X_r∈A，若A中有n個(gè)元，則一共有n^N種序列，從中任選M種作為碼字，就有n^NM種選法，也就是有n^NM種編碼方法。然后計(jì)算每種編碼在接收端檢測(cè)時(shí)出錯(cuò)概率的上界，再對(duì)每種編碼賦予一個(gè)概率測(cè)度，也就是說(shuō)采用一種編碼是隨機(jī)的，但卻可計(jì)算所有編碼的平均差錯(cuò)概率的上界。經(jīng)過(guò)復(fù)雜的運(yùn)算可得到這個(gè)平均差錯(cuò)概率?V_e的上界是

?V_e＜exp[-NE(R)]

式中為所傳送的信息率，E(R)稱為可靠性函數(shù)。當(dāng)R小于信道容量時(shí)，E(R)大于零。因此當(dāng)N→∞，?V_e的上界將為零。既然所有編碼的平均差錯(cuò)率將逼近于零，則必有一種較好的編碼，差錯(cuò)概率也將逼近于零，這就證明了能無(wú)錯(cuò)誤地傳送的編碼方法的存在性。反定理也可相仿地證明，只是此時(shí)應(yīng)求正確概率的上界，并證明它的平均值逼近于零。

關(guān)于多用戶信道編碼定理的證明，基本上仍用單用戶理論，只是引入了時(shí)分內(nèi)插原理。例如在二址接入信道中，把一個(gè)輸入作為干擾，就成為單用戶問(wèn)題，這樣可得到一種編碼方法；再把另一個(gè)輸入作為干擾，又得到另一種編碼方法；然后這兩種編碼方法按時(shí)間來(lái)分配，也就是某段時(shí)間用前一種編碼，而另一段時(shí)間用后一種編碼，這樣就擴(kuò)展了容量區(qū)域，成為原來(lái)兩種編碼的區(qū)域的凸包，從而證明二址接入信道的編碼定理，因?yàn)榉謩e位于兩個(gè)二維區(qū)域中 (Rí，R??)和(R??，R??)兩點(diǎn)的連線上的任一內(nèi)點(diǎn)(R₁，R₂)就是時(shí)間分配的結(jié)果。

可靠性函數(shù)E(R)指出了差錯(cuò)概率與信息率 R和序列長(zhǎng)度N的關(guān)系，但這是上界公式，還不能確切指出最佳編碼的實(shí)際差錯(cuò)值。人們?cè)噲D計(jì)算差錯(cuò)概率的下界，以得到相仿的指數(shù)關(guān)系，只是所得到的 E₁(R)與上述E(R)不完全相同，還不能得到差錯(cuò)概率的確切值或確切的逼近零的速度，因此這也是編碼定理中尚存的問(wèn)題之一。

編碼方法

編碼定理只證明了最佳編碼方法的存在性。50年代發(fā)展起來(lái)的糾錯(cuò)碼理論，是為實(shí)現(xiàn)最佳編碼方法而發(fā)展的。以二元對(duì)稱信道為例，n個(gè)輸入符號(hào)共有2ⁿ種序列，只選用2^k種序列(k＜n)作為碼字，則信息率R＝k/n比特/符號(hào)。倘若這種編碼方法能糾正傳輸引起的t個(gè)錯(cuò)誤符號(hào)，則當(dāng)n→∞、信道的誤碼率ε小于t/n時(shí)，就能達(dá)到無(wú)錯(cuò)誤的傳輸，這時(shí)信道容量已知為 1-H(ε)比特／符號(hào)，其中H(ε)是熵函數(shù)，即

H(x)＝-xlog₂x-(1-x)log₂(1-x)

當(dāng)時(shí)，H(ε)是單調(diào)遞增的，因而編碼定理所規(guī)定的無(wú)錯(cuò)傳送的界限是

取等號(hào)時(shí)的曲線稱為漢明上限（見圖）。任何編碼方法不可能超過(guò)此界限。

現(xiàn)用的糾錯(cuò)碼大多是線性碼，可證明這類碼的上界是伊萊亞斯上限，一定能達(dá)到的有V-G下限?，F(xiàn)有的線性碼是不能達(dá)到理想編碼的。這些還都是理論性結(jié)論，實(shí)際編碼如BCH碼，當(dāng)n→∞，t/n保持一定時(shí)，k/n將趨于零；反之，k/n保持不變時(shí)，t/n也將趨于零，這與編碼定理的結(jié)果就有更大的距離。以后發(fā)展的許多糾錯(cuò)編碼如戈帕碼、卷積碼都有類似的情況。至于后來(lái)出現(xiàn)的包括算術(shù)碼的非線性編碼，其極限情況還不十分明朗。

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標(biāo)簽：信道編碼

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文章名稱：《信道編碼》

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