[拼音]：dianlu de zhuangtai bianliang fenxi

[外文]：state variable analysis in circuit

用狀態(tài)變量建立狀態(tài)方程以分析電路的方法。一系統(tǒng)的狀態(tài)變量是具有下述特點的數(shù)目最少的一組變量：知道這一組變量在某一時刻(t=t₀)的值和施加于此系統(tǒng)在此后(t≥t₀)的輸入（激勵）值，就能完全確定此系統(tǒng)在任何時刻(t≥t₀)的性狀。 同一系統(tǒng)可以用多組狀態(tài)變量中的任一組去描述。選取怎樣的一組往往視方便與需要而定。

狀態(tài)空間分析就是采用狀態(tài)建立狀態(tài)方程，以分析系統(tǒng)的性狀。連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一組聯(lián)立的一階微分方程；離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一組聯(lián)立的一階差分方程。

連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程

用矢量寫出，一般有以下形式

?J＝f(χ ，u)　　(1)

式中χ 是n 維矢量，代表狀態(tài)變量；?J為狀態(tài)變量的時間導(dǎo)數(shù);u是m 維矢量，代表輸入;函數(shù)f:R_n×R^m →R_n。給定電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（見網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洌┰匦约半娫?，可以根?jù)基爾霍夫定律及給定的上述電路特性寫出其狀態(tài)方程。在電路理論中常取電感電流或磁鏈，電容電壓或電荷為狀態(tài)變量。

對僅含RLCM的電路，大致可依下列步驟建立狀態(tài)方程。

（1）假設(shè)電路中沒有完全由電容、電壓電源組成的回路和完全由電感、電流電源組成的割集，便可選一樹，使全部電容、電壓電源支路均為樹支，電感、電流電源支路均為連支。

（2）取電容電壓（或電荷）、電感電流（或磁鏈）為狀態(tài)變量，對每一樹支根據(jù)KCL寫基本割集方程，其中便含有聯(lián)系電容電流與連支電流的方程式；對每一連支根據(jù)KVL寫基本回路方程， 其中便含有聯(lián)系電感電壓與樹支電壓的方程。

（3）由這樣得到的方程組中消去非狀態(tài)變量即樹支電阻電壓、連支電導(dǎo)電流，便得到以電容電壓和電感電流以及各電源電壓（流）表示的電容電流、電感電壓的表達(dá)式，由之便可容易地得出電路的狀態(tài)方程。在含有電容-電壓源回路、電感-電流源割集的電路中，仍可循上述方法建立狀態(tài)方程，只是有的電容電壓、電感電流受KVL、KCL的限制，前者可以由與之構(gòu)成回路的電容電壓、后者可用與之構(gòu)成割集的電感電流表示出，而不成為狀態(tài)變量。

以一個由電阻R、電感L、電容C、電壓源u組成的串聯(lián)電路（見圖）為例，

選u_c，i_L為狀態(tài)變量，可得其狀態(tài)方程如下：

給定初始條件i_L(t₀)、 u_c(t₀)，便可由上述方程解得u_c(t)，i_L(t)。如果所關(guān)心的輸出是電容電壓，便有

由狀態(tài)變量和輸入表示的輸出量的方程稱為輸出方程。

線性時變電路的狀態(tài)方程　也可以按上述步驟去建立。對于非線性電路雖然亦可根據(jù)上述同樣的步驟去列寫方程，但在消去非狀態(tài)變量的過程中要涉及非線性方程的求解，這一般只能用數(shù)值方法去處理，而且需要元件特性的性質(zhì)滿足某些條件，才能有狀態(tài)方程的描述。

線性時變電路的狀態(tài)方程有以下形式

　　　　　 (2)

式中系數(shù)矩陣均為以時間函數(shù)為其元素的矩陣。設(shè)上一方程的齊次方程?J＝A(t)χ有n個線性無關(guān)的解，φ_i=(φ_1iφ_2i…φ_ii…φ_ni(i =1，2，…，n)，由此n個解組成的矩陣

　　　　　(3)

稱為方程 (2)的齊次方程的基本矩陣，Φ(t，t₀)??Φ(t)Φ^-1(t)ψ^-1(t₀)稱為方程(2)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 滿足方程(2)及初始條件χ(t₀)=χ₀的解為

χ(t)＝φ(t，t₀)χ₀

由此方程的解可表示為

　　　　(4)

式中第一項是零輸入解，第二項是零狀態(tài)解。由上可見，求時變電路狀態(tài)方程的解，首先需要求出具齊次方程的一組獨立的特解，只在少數(shù)情況下可以求出解析形式的這組解答。所以在許多情況下只得用數(shù)值方法求其數(shù)值解。

線性時不變電路的狀態(tài)方程

一般有下列形式：

?J＝Aχ＋Bu　　　　　　　(5)

以及輸出方程

??＝Cχ＋Du　　　　　　 (6)

式中χ是n維列矢量，u是m維列矢量，y是某一維數(shù)的輸出列矢量，A、B、C、D 是行列數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。這種形式的方程的解為

　(7)

式中χ(t₀)＝χ(t)是給定的初始條件。在線性代數(shù)理論中有許多方法可用以計算式中涉及的矩陣函數(shù)。式?杏葉說?1項即是電路的零輸入響應(yīng);第2項…即是電路的零狀態(tài)響應(yīng)。全部響應(yīng)即為此兩項之和。矩陣函數(shù)

稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。在無激勵的作用下，電路t₀時的狀態(tài)矢量與之相乘，便被轉(zhuǎn)換成t時的狀態(tài)χ(t)。

線性時不變電路的狀態(tài)方程還可用諸如拉普拉斯變換乃至數(shù)值方法求解?？傊@類問題的求解已有成熟的方法可用。

非線性電路的狀態(tài)方程

這類電路的狀態(tài)方程的求解是理論上還不成熟的領(lǐng)域。非線性電路中存在許多線性系統(tǒng)中不存在的現(xiàn)象，如振蕩、跳躍、混沌等，只有用非線性理論才能闡明。它是一個有理論意義正在被探索的領(lǐng)域。

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標(biāo)簽：電路的狀態(tài)變量分析

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文章名稱：《電路的狀態(tài)變量分析》

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