功率譜估計(jì)是數(shù)字信號(hào)處理的主要內(nèi)容之一，主要研究信號(hào)在頻域中的各種特征，目的是根據(jù)有限數(shù)據(jù)在頻域內(nèi)提取被淹沒在噪聲中的有用信號(hào)。下面對(duì)譜估計(jì)的發(fā)展過程做簡(jiǎn)要回顧：

英國(guó)科學(xué)家牛頓最早給出了“譜”的概念。后來，1822年，法國(guó)工程師傅立葉提出了著名的傅立葉諧波分析理論。該理論至今依然是進(jìn)行信號(hào)分析和信號(hào)處理的理論基礎(chǔ)。

傅立葉級(jí)數(shù)提出后，首先在人們觀測(cè)自然界中的周期現(xiàn)象時(shí)得到應(yīng)用。19世紀(jì)末，Schuster提出用傅立葉級(jí)數(shù)的幅度平方作為函數(shù)中功率的度量，并將其命名為“周期圖”（periodogram）。這是經(jīng)典譜估計(jì)的最早提法，這種提法至今仍然被沿用，只不過現(xiàn)在是用快速傅立葉變換（FFT）來計(jì)算離散傅立葉變換（DFT），用DFT的幅度平方作為信號(hào)中功率的度量。

周期圖較差的方差性能促使人們研究另外的分析方法。1927年，Yule提出用線性回歸方程來模擬一個(gè)時(shí)間序列。Yule的工作實(shí)際上成了現(xiàn)代譜估計(jì)中最重要的方法――參數(shù)模型法譜估計(jì)的基礎(chǔ)。

Walker利用Yule的分析方法研究了衰減正弦時(shí)間序列，得出Yule-Walker方程，可以說，Yule和Walker都是開拓自回歸模型的先鋒。

1930年，著名控制理論專家Wiener在他的著作中首次精確定義了一個(gè)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度，并把譜分析建立在隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特征的基礎(chǔ)上，即，“功率譜密度是隨機(jī)過程二階統(tǒng)計(jì)量自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換”，這就是Wiener-Khintchine定理。該定理把功率譜密度定義為頻率的連續(xù)函數(shù)，而不再像以前定義為離散的諧波頻率的函數(shù)。

1949年，Tukey根據(jù)Wiener-Khintchine定理提出了對(duì)有限長(zhǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行譜估計(jì)的自相關(guān)法，即利用有限長(zhǎng)數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，再對(duì)該自相關(guān)函數(shù)球傅立葉變換，從而得到譜的估計(jì)。1958年， Blackman和Tukey在出版的有關(guān)經(jīng)典譜估計(jì)的專著中討論了自相關(guān)譜估計(jì)法，所以自相關(guān)法又叫BT法。 周期圖法和自相關(guān)法都可用快速傅立葉變換算法來實(shí)現(xiàn)，且物理概念明確，因而仍是目前較常用的譜估計(jì)方法。

1948年，Bartlett首次提出了用自回歸模型系數(shù)計(jì)算功率譜。自回歸模型和線性預(yù)測(cè)都用到了1911年提出的Toeplitz矩陣結(jié)構(gòu)，Levinson曾根據(jù)該矩陣的特點(diǎn)于1947年提出了解Yule-Walker的快速計(jì)算方法。這些工作為現(xiàn)代譜估計(jì)的發(fā)展打下了良好的理論基礎(chǔ)。

1965年，Cooley和Tukey提出的FFT算法，也促進(jìn)了譜估計(jì)的迅速發(fā)展。

現(xiàn)代譜估計(jì)主要是針對(duì)經(jīng)典譜估計(jì)的分辨率差和方差性能不好的問題而提出的?，F(xiàn)代譜估計(jì)從方法上大致可分為參數(shù)模型譜估計(jì)和非參數(shù)模型譜估計(jì)兩種，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指數(shù)模型等；后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。

周期運(yùn)動(dòng)在功率譜中對(duì)應(yīng)尖鋒，混沌的特征是譜中出現(xiàn)”噪聲背景”和寬鋒。它是研究系統(tǒng)從分岔走向混沌的重要方法。在很多實(shí)際問題中（尤其是對(duì)非線性電路的研究）常常只給出觀測(cè)到的離散的時(shí)間序列X1, X2, X3,…Xn，那么如何從這些時(shí)間序列中提取前述的四種吸引子（零維不動(dòng)點(diǎn)、一維極限環(huán)、二維環(huán)面、奇怪吸引子）的不同狀態(tài)的信息呢？

我們可以運(yùn)用數(shù)學(xué)上已經(jīng)嚴(yán)格證明的結(jié)論，即擬合。我們將N個(gè)采樣值加上周期條件Xn i=Xi，則自關(guān)聯(lián)函數(shù)（即離散卷積）為然后對(duì)Cj完成離散傅氏變換，計(jì)算傅氏系數(shù)。 Pk說明第k個(gè)頻率分量對(duì)Xi的貢獻(xiàn)，這就是功率譜的定義。當(dāng)采用快速傅氏變換算法后，可直接由Xi作快速傅氏變換，得到系數(shù) 然后計(jì)算，由許多組{Xi}得一批{Pk‘}，求平均后即趨近前面定義的功率譜Pk。

從功率譜上，四種吸引子是容易區(qū)分的，混沌的功率譜表現(xiàn)為”噪聲背景”及寬鋒。考慮到實(shí)際計(jì)算中，數(shù)據(jù)只能取有限個(gè)，譜也總以有限分辨度表示出來，從物理實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算的角度看，一個(gè)周期十分長(zhǎng)的解和一個(gè)混沌解是難于區(qū)分的，這也正是功率譜研究的主要弊端。

信號(hào)的頻譜分析是研究信號(hào)特性的重要手段之一，通常是求其功率譜來進(jìn)行頻譜分析。功率譜反映了隨機(jī)信號(hào)各頻率成份功率能量的分布情況，可以揭示信號(hào)中隱含的周期性及靠得很近的譜峰等有用信息，在許多領(lǐng)域都發(fā)揮了重要作用。然而，實(shí)際應(yīng)用中的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通常是有限長(zhǎng)的，只能根據(jù)有限長(zhǎng)信號(hào)估計(jì)原信號(hào)的真實(shí)功率譜，這就是功率譜估計(jì)。

功率譜估計(jì)分為經(jīng)典譜估計(jì)和現(xiàn)代譜估計(jì)。經(jīng)典譜估計(jì)是將數(shù)據(jù)工作區(qū)外的未知數(shù)據(jù)假設(shè)為零，相當(dāng)于數(shù)據(jù)加窗，主要方法有相關(guān)法和周期圖法；現(xiàn)代譜估計(jì)是通過觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)模型再按照求參數(shù)模型輸出功率的方法估計(jì)信號(hào)功率譜，主要是針對(duì)經(jīng)典譜估計(jì)的分辨率低和方差性能不好等問題提出的，應(yīng)用最廣的是AR參數(shù)模型。本文就應(yīng)用上述兩種方法，在MATLAB中對(duì)一個(gè)語音信號(hào)進(jìn)行功率譜估計(jì)，然后進(jìn)行比較。

經(jīng)典功率譜估計(jì)

1. 相關(guān)法

相關(guān)法是利用維納-辛欽定理該方法先由序列x(n)估計(jì)出自相關(guān)函數(shù)R(n)，然后對(duì)R(n)進(jìn)行傅立葉變換，便得到x(n)的功率譜估計(jì)。

MATLAB程序如下：

[xn,Fs,bits]=wavread(‘1.wav’);

n=0:1/Fs:1;

nfft=512;

cxn=xcorr(xn,’unbiased’);

CXk=fft(cxn,nfft);

Pxx=abs(CXk);

index=0:round(nfft/2-1);

k=index*Fs/nfft;

a=log(10);

b=log(Pxx(index 1));

c=b/a;

plot_Pxx=10*c;

figure(1);

plot(k,plot_Pxx);

xlabel(‘frequeney(hz)’);

ylabel(‘power spectraldensity(Db-Hz)’);

title(‘recorrelation psd estimate’);

2. 周期圖法

周期圖法是把隨機(jī)序列x(n)的N個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)視為一能量有限的序列，直接計(jì)算x(n)的離散傅立葉變換，得x(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作為序列x(n)真實(shí)功率譜的估計(jì)。

MATLAB程序如下： 

[y,Fs,bits]=wavread(‘1.wav’);

N=512;

Nfft=1024;

n=0:N-1;

XF=fft(y,Nfft);

Pxx=abs(XF).^2/length(n);

index=0:round(Nfft/2-1);

f=index*Fs/Nfft;

plot(f,10*log(Pxx(index 1))),

grid

現(xiàn)代功率譜估計(jì)

在經(jīng)典譜估計(jì)進(jìn)行功率譜估計(jì)時(shí)，由于將所有在窗口外的數(shù)據(jù)都視為0，這便使得譜估計(jì)的質(zhì)量下降?，F(xiàn)代譜估計(jì)是利用待研究信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)，對(duì)信號(hào)在窗口外的數(shù)據(jù)作出某種較合理的假設(shè)，以達(dá)到提高譜估計(jì)質(zhì)量的目的?，F(xiàn)代功率譜估計(jì)主要是利用白噪聲輸入?yún)?shù)模型之后得到輸出序列，當(dāng)改變系統(tǒng)參數(shù)時(shí)得到的序列也不同，這樣當(dāng)改變參數(shù)使得輸出與已知有限序列相同或者近似時(shí)就可以利用下面的公式求得其功率譜。

可以說現(xiàn)代譜估計(jì)實(shí)際上是對(duì)模型參數(shù)的估計(jì)?，F(xiàn)代譜估計(jì)的參數(shù)模型有自回歸滑動(dòng)平均（ARMA）模型、自回歸（AR）模型、滑動(dòng)平均（MA）模型，Wold分解定理闡明了三者之間的關(guān)系：任何有限方差的ARMA或MA模型的平穩(wěn)隨機(jī)過程可以用無限階的AR模型表示，任何有限方差的ARMA或MA模型的平穩(wěn)隨機(jī)過程可以用無限階的MA模型表示。但是由于只有AR模型參數(shù)估計(jì)是一組線性方程，而實(shí)際的物理系統(tǒng)往往是全極點(diǎn)系統(tǒng)，因而AR應(yīng)用最廣。

AR模型：利用AR模型進(jìn)行功率譜估計(jì)須通過L-D遞推算法由Yule-Walker方程求得AR的參數(shù)：a1，a2，…ap，σp2，或者利用線性預(yù)測(cè)濾波器系統(tǒng)函數(shù)與AR模型系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系，通過Burg遞推算法求得AR模型參數(shù)。具體推導(dǎo)就不再給出。在Matlab仿真中可調(diào)用pburg函數(shù)直接畫出基于burg算法的功率譜估計(jì)的曲線圖。

MATLAB程序如下：

N=512;

Nfft=1024;

[xn,fs,bits]=wavread(‘1.wav’);

%xn=<13921*2> fs=22050;bits=16;

xn=xn(:,1);

xn1=xn(1:N);

order1=50;

figure

pburg(xn1,order1,Nfft,fs);

結(jié)語

(1) 功率譜估計(jì)中的相關(guān)函數(shù)法和周期圖法所得到的結(jié)果是一致的，其特點(diǎn)是離散性大，曲線粗糙，方差較大，但是分辨率較高。

(2) 現(xiàn)代譜估計(jì)方法曲線明顯比經(jīng)典譜估計(jì)方法光滑，說明其處理結(jié)果的方差比經(jīng)典譜估計(jì)方法處理的結(jié)果小，證明了現(xiàn)代譜估計(jì)方法利用參數(shù)模型對(duì)窗口外的數(shù)據(jù)的假設(shè)是比較合理有效的，能達(dá)到提高譜估計(jì)質(zhì)量的目的，這也是現(xiàn)代譜估計(jì)優(yōu)于經(jīng)典譜估計(jì)的主要原因。

本文轉(zhuǎn)載自新浪阿彬的博客，原文為Geoinformatics的博文

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標(biāo)簽：信號(hào)、功率、噪聲

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文章名稱：《功率譜估計(jì)：提取被淹沒在噪聲中的有用信號(hào)》

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